একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a = x$, $b = 2\sqrt{2}x$ এবং $c = 3x$ (যেখানে x > 0)।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 108
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
General Knowledge
মহাকাশ, মহাবিশ্ব ও সৌরজগৎ, আহ্নিক গতি, বার্ষিক গতি, ঋতু পরিবর্তন।
মহাকাশ, মহাবিশ্ব ও সৌরজগৎ, আহ্নিক গতি, বার্ষিক গতি, ঋতু পরিবর্তন।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-১১৮
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
গণিত
লাভ-ক্ষতি, দূরত্ব ও গতিবেগ সংক্রান্ত।
লাভ-ক্ষতি, দূরত্ব ও গতিবেগ সংক্রান্ত।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৮৭
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের উন্নয়ন পরিকল্পনা ও কৌশলসমূহ: পঞ্চবার্ষিকী পরিকল্পনা, ADP, রূপকল্প ২০৪১, Delta Plan 2100, এবং দারিদ্র্য বিমোচন। পরিকল্পনা মন্ত্রণালয়: BIDS, NAPD, বাংলাদেশ পরিকল্পনা কমিশন, NEC, ECNEC.
বাংলাদেশের উন্নয়ন পরিকল্পনা ও কৌশলসমূহ: পঞ্চবার্ষিকী পরিকল্পনা, ADP, রূপকল্প ২০৪১, Delta Plan 2100, এবং দারিদ্র্য বিমোচন। পরিকল্পনা মন্ত্রণালয়: BIDS, NAPD, বাংলাদেশ পরিকল্পনা কমিশন, NEC, ECNEC.
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: সন্ধি।
ইংরেজি: Important Writers of the Different Ages (Old to Renaissance Period)
গণিত: ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: পাকিস্তান শাসন থেকে ১৯৭০ এর নির্বাচন পর্যন্ত
ইংরেজি: Important Writers of the Different Ages (Old to Renaissance Period)
গণিত: ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: পাকিস্তান শাসন থেকে ১৯৭০ এর নির্বাচন পর্যন্ত
১০ জুলাই, ২০২৬ থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০৩
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সংস্কৃতি ও সভ্যতা:
সংস্কৃতির সংজ্ঞা, উপাদান, বৈচিত্র্য, ঐক্য, সাংস্কৃতিক মেলবন্ধন, সাংস্কৃতিক পরিবর্তন ও সাংস্কৃতিক পশ্চাৎগতি (Cultural Lag)
সংস্কৃতির সংজ্ঞা, উপাদান, বৈচিত্র্য, ঐক্য, সাংস্কৃতিক মেলবন্ধন, সাংস্কৃতিক পরিবর্তন ও সাংস্কৃতিক পশ্চাৎগতি (Cultural Lag)
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions