একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a = x$, $b = 2\sqrt{2}x$ এবং $c = 3x$ (যেখানে x > 0)।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-২১
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
English: Vocabulary: Word Meaning and Spelling, One Word Substitution
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলি: আন্তর্জাতিক সংগঠন ও বৈশ্বিক অর্থনৈতিক প্রতিষ্ঠান: আন্তর্জাতিক রাজনৈতিক সংগঠন ও জোট, জাতিসংঘ ও জাতিসংঘ বিষয়ক তথ্য
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলি: আন্তর্জাতিক সংগঠন ও বৈশ্বিক অর্থনৈতিক প্রতিষ্ঠান: আন্তর্জাতিক রাজনৈতিক সংগঠন ও জোট, জাতিসংঘ ও জাতিসংঘ বিষয়ক তথ্য
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১২
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
ভাষা শিক্ষা:
পত্র রচনা (আবেদনপত্র, দাপ্তরিক পত্র, ব্যবসায় সংক্রান্ত পত্র), অনুবাদ (ইংরেজি থেকে বাংলা)
পত্র রচনা (আবেদনপত্র, দাপ্তরিক পত্র, ব্যবসায় সংক্রান্ত পত্র), অনুবাদ (ইংরেজি থেকে বাংলা)
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা ৮
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
মধ্যযুগের উল্লেখযোগ্য সাহিত্যিক ও সাহিত্যকর্ম, বাংলা গদ্য সাহিত্যের ধারণা ও বিকাশ, শ্রীরামপুর মিশন ও ছাপাখানা, ফোর্ট উইলিয়াম কলেজ, উইলিয়াম কেরি, বাংলাদেশ এশিয়াটিক সোসাইট, বঙ্গীয় মুসলমান সাহিত্য সমিতি, মুসলিম সাহিত্য সমাজ, বাংলা একাডেমি।
মধ্যযুগের উল্লেখযোগ্য সাহিত্যিক ও সাহিত্যকর্ম, বাংলা গদ্য সাহিত্যের ধারণা ও বিকাশ, শ্রীরামপুর মিশন ও ছাপাখানা, ফোর্ট উইলিয়াম কলেজ, উইলিয়াম কেরি, বাংলাদেশ এশিয়াটিক সোসাইট, বঙ্গীয় মুসলমান সাহিত্য সমিতি, মুসলিম সাহিত্য সমাজ, বাংলা একাডেমি।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions